量子化

性质：

\[ \begin{array}{} \bra{0}Z\ket{0}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1\\ \bra{1}Z\ket{1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 \end{array} \]

从而实现从组别状态0, 1到变量取值1, -1的转变。

计算： $$ \bra{010}Z\otimes Z\otimes I\ket{010}=\bra{010}(Z\ket0\otimes Z\ket1\otimes Z\ket0)=\bra0Z\ket0\bra1Z\ket1\bra0Z\ket0=-1 $$

$Z\otimes Z\otimes I$记做$Z_0Z_1$

结论：$\bra\psi Z_jZ_k\ket\psi$最小值总可以在某个基态(basis state)$\ket x$取得

证 令$\ket\psi=\sum_xa_x\ket x$，则

$\bra\psi Z_jZ_k\ket\psi=\left(\sum\limits_ya_y^*\bra y\right)Z_jZ_k\left(\sum\limits_xa_x\ket x\right)=\sum\limits_y\sum\limits_xa_y^*a_x\bra yZ_jZ_k\ket x=\sum\limits_x|a_x|^2\bra xZ_jZ_k\ket x$

又$\sum_x|a_x|^2=1$

所以$\sum\limits_x|a_x|^2\bra xZ_jZ_k\ket x\geqslant\sum\limits_x|a_x|^2\bra{x_\min}Z_jZ_k\ket{x_\min}=\bra{x_\min}Z_jZ_k\ket{x_\min}$

$\ket{x_\min}$不唯一；最小值可在多个$\ket{x_\min}$的叠加态取得

概念：

期望值：$\sum_{(j,k)\in E}Z_jZ_k$期望值为$\bra\psi\left(\sum\limits_{(j,k)\in E}Z_jZ_k\right)\ket\psi=\sum\limits_{(j,k)\in E}\bra\psi Z_jZ_k\ket\psi$
基态(ground state)：使得期望值取最小值的本征态

对于基态$\ket x,\ Z_jZ_k\ket x=\pm\ket x$，即$\sum\limits_{(j,k)\in E}Z_jZ_k$具有正交本征向量基（即计算基）

Max-Cut问题量子版本： $$ \text{minimize} \sum_{(j,k)\in E}\bra\psi Z_jZ_k\ket\psi $$ 其中$\ket\psi$为n比特量子态。

Ising模型量子版本： $$ \text{minimize} -\sum_{(j,k)\in E}J_{jk}\bra\psi Z_jZ_k\ket\psi-\sum_j h_j\bra\psi Z_j\ket\psi $$ 其中$\ket\psi$为n比特量子态。

本质：寻找系统哈密顿量的基态

实际操作时无需得到确切的基态$\ket{x_\min}$，仅需得到态$\ket\psi$，其中基$\ket{x_\min}$对应振幅$a_{x_\min}=|\braket{x_\min|\psi}|$最大。在计算基下测量$\ket\psi$时，有较高概率得到$x_\min$.