Guided Image Filtering

元素：

• 输入：\(p_i\)，带有噪声\(n_i\)
• 输出：\(q_i=p_i-n_i\)
• guide：\(I\)

原理：

\[ \nabla q_i=a\nabla I_i \]

\[ q_i=aI_i+b \]

形式化：

\[ \min_{(a,b)}\sum_i(aI_i+b-p_i)^2+\epsilon a^2 \]

其中\(\epsilon a^2\)为正则项；上式即噪声最小。

求解最优化问题：Lagrange

\[ a=\dfrac{\text{cov}(I,p)}{\text{var}(I)+\epsilon} \]

\[ b=\bar p-a\bar I \]

优化：利用重叠窗口

• 窗口定义：

\[ \begin{array}{l} a_k=\dfrac{\text{cov}_k(I,p)}{\text{var}_k(I)+\epsilon}\\ b_k=\bar{p_k}-a\bar{I_k}\\ q_i=\dfrac{1}{|\omega|}\sum\limits_{k|i\in\omega_k}(a_kI_i+b_k)=\bar{a_i}I_i+\bar{b_i} \end{array} \]

参数影响：

• \(I\)：当\(\text{var}(I)<\!<\epsilon\)时，\(a\approx0,b\approx\bar p\Rightarrow q_i\approx\bar{\bar p}\)
• \(r\)：影响band-width
• \(\epsilon\)：影响保边（当\(I\)存在阶梯时，输出也存在阶梯）

复杂度：\(O(1)\)

应用：

• 细节增强（无梯度逆转）
• 图像压缩
• 图像去噪
• 去雾：\(\epsilon\to0\)
• 边缘提取